I matematici finalmente dimostrano che il ghiaccio che si scioglie rimane liscio

Lascia cadere un ghiaccio cubo in un bicchiere d’acqua. Probabilmente puoi immaginare il modo in cui inizia a sciogliersi. Sai anche che non importa quale forma assuma, non lo vedrai mai sciogliersi in qualcosa di simile a un fiocco di neve, composto ovunque da spigoli vivi e sottili cuspidi.

I matematici modellano questo processo di fusione con equazioni. Le equazioni funzionano bene, ma ci sono voluti 130 anni per dimostrare che sono conformi a fatti ovvi sulla realtà. In un articolo pubblicato a marzo, Alessio Figalli e Joaquim Serra del Politecnico federale di Zurigo e Xavier Ros-Oton dell’Università di Barcellona hanno stabilito che le equazioni corrispondono davvero all’intuizione. I fiocchi di neve nel modello potrebbero non essere impossibili, ma sono estremamente rari e del tutto fugaci.

“Questi risultati aprono una nuova prospettiva sul campo”, ha detto Maria Colombo del Politecnico federale di Losanna. “Prima non c’era una comprensione così profonda e precisa di questo fenomeno”.

La domanda su come il ghiaccio si scioglie nell’acqua è chiamata problema di Stefan, dal nome del fisico Josef Stefan, che posato nel 1889. È l’esempio più importante di un problema di “confine libero”, in cui i matematici considerano come un processo come la diffusione del calore fa muovere un confine. In questo caso, il confine è tra ghiaccio e acqua.

Per molti anni, i matematici hanno cercato di comprendere i complicati modelli di questi confini in evoluzione. Per progredire, il nuovo lavoro trae ispirazione da studi precedenti su un diverso tipo di sistema fisico: le pellicole di sapone. Si basa su di essi per dimostrare che lungo il confine in evoluzione tra ghiaccio e acqua, raramente si formano punti affilati come cuspidi o bordi, e anche quando lo fanno scompaiono immediatamente.

Questi punti acuti sono chiamati singolarità e, a quanto pare, sono effimeri nei confini liberi della matematica come lo sono nel mondo fisico.

Clessidre che si sciolgono

Consideriamo, ancora, un cubetto di ghiaccio in un bicchiere d’acqua. Le due sostanze sono costituite dalle stesse molecole d’acqua, ma l’acqua si trova in due fasi diverse: solida e liquida. Esiste un confine dove le due fasi si incontrano. Ma quando il calore dell’acqua si trasferisce nel ghiaccio, il ghiaccio si scioglie e il confine si sposta. Alla fine, il ghiaccio, e il confine con esso, scompaiono.

L’intuizione potrebbe dirci che questo confine di fusione rimane sempre liscio. Dopotutto, non ti tagli sui bordi taglienti quando estrai un pezzo di ghiaccio da un bicchiere d’acqua. Ma con un po’ di immaginazione, è facile concepire scenari in cui emergono punti acuti.

Prendi un pezzo di ghiaccio a forma di clessidra e immergilo. Man mano che il ghiaccio si scioglie, la vita della clessidra diventa sempre più sottile finché il liquido non si consuma completamente. Nel momento in cui ciò accade, ciò che una volta era una vita liscia diventa due cuspidi appuntite, o singolarità.

“Questo è uno di quei problemi che mostra naturalmente delle singolarità”, ha detto Giuseppe Mingione dell’Università di Parma. “È la realtà fisica che te lo dice.”

Josef Stefan ha formulato una coppia di equazioni che modellano il ghiaccio che si scioglie.

Archivio dell’Università di Vienna Autore: R. Fenzl Signatur: 135.726

Eppure la realtà ci dice anche che le singolarità sono controllate. Sappiamo che le cuspidi non dovrebbero durare a lungo, perché l’acqua calda dovrebbe scioglierle rapidamente. Forse se iniziassi con un enorme blocco di ghiaccio costruito interamente con clessidre, potrebbe formarsi un fiocco di neve. Ma comunque non sarebbe durato più di un istante.

Nel 1889 Stefan sottopose il problema a un esame matematico, formulando due equazioni che descrivono lo scioglimento del ghiaccio. Uno descrive la diffusione del calore dall’acqua calda al ghiaccio freddo, che restringe il ghiaccio mentre fa espandere la regione dell’acqua. Una seconda equazione tiene traccia dell’interfaccia mutevole tra ghiaccio e acqua mentre procede il processo di fusione. (In effetti, le equazioni possono anche descrivere la situazione in cui il ghiaccio è così freddo da provocare il congelamento dell’acqua circostante, ma nel presente lavoro i ricercatori ignorano questa possibilità).

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