La visita guidata di un matematico attraverso dimensioni superiori

In alternativa, proprio come possiamo aprire le facce di un cubo in sei quadrati, possiamo aprire il confine tridimensionale di un tesseract per ottenere otto cubi, come ha mostrato Salvador Dalí nel suo dipinto del 1954 Crocifissione (Corpo Ipercubo).

Possiamo immaginare un cubo dispiegando le sue facce. Allo stesso modo, possiamo iniziare a immaginare un tesseract aprendo i suoi cubi di confine.

Tutto questo si aggiunge alla comprensione intuitiva che uno spazio astratto è n-dimensionale se ci sono n gradi di libertà al suo interno (come avevano quegli uccelli), o se lo richiede n coordinate per descrivere la posizione di un punto. Tuttavia, come vedremo, i matematici hanno scoperto che la dimensione è più complessa di quanto queste descrizioni semplicistiche implichino.

Lo studio formale delle dimensioni superiori emerse nel XIX secolo e divenne piuttosto sofisticato nel giro di decenni: una bibliografia del 1911 conteneva 1.832 riferimenti alla geometria del n dimensioni. Forse di conseguenza, tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo, il pubblico si è infatuato della quarta dimensione. Nel 1884, Edwin Abbott scrisse il popolare romanzo satirico Pianura, che usava esseri bidimensionali che incontravano un personaggio della terza dimensione come un’analogia per aiutare i lettori a comprendere la quarta dimensione. Un 1909 Scientifico americano concorso di saggi intitolato “Cos’è la quarta dimensione?” ha ricevuto 245 candidature in lizza per un premio di $500. E molti artisti, come Pablo Picasso e Marcel Duchamp, hanno incorporato idee della quarta dimensione nel loro lavoro.

Ma durante questo periodo, i matematici si resero conto che la mancanza di una definizione formale per la dimensione era in realtà un problema.

Georg Cantor è meglio conosciuto per la sua scoperta che l’infinito è disponibile in diverse dimensionio cardinalità. All’inizio Cantor credeva che l’insieme dei punti in un segmento di linea, un quadrato e un cubo dovessero avere cardinalità diverse, proprio come hanno una linea di 10 punti, una griglia di punti 10 × 10 e un cubo di punti 10 × 10 × 10 diverso numero di punti. Tuttavia, nel 1877 scoprì una corrispondenza biunivoca tra punti in un segmento di linea e punti in un quadrato (e allo stesso modo cubi di tutte le dimensioni), dimostrando che hanno la stessa cardinalità. Intuitivamente, dimostrò che linee, quadrati e cubi hanno tutti lo stesso numero di punti infinitamente piccoli, nonostante le loro diverse dimensioni. Cantor scrisse a Richard Dedekind: “Lo vedo, ma non ci credo”.

Cantor si rese conto che questa scoperta minacciava l’idea intuitiva che nlo spazio dimensionale richiede n coordinate, perché ogni punto in an ncubo -dimensionale può essere identificato in modo univoco da un numero da un intervallo, in modo che, in un certo senso, questi cubi ad alta dimensione sono equivalenti a un segmento di linea unidimensionale. Tuttavia, come ha sottolineato Dedekind, la funzione di Cantor era altamente discontinua: essenzialmente spezzava un segmento di linea in infinite parti e le ricomponeva per formare un cubo. Questo non è il comportamento che vorremmo per un sistema di coordinate; sarebbe troppo disordinato per essere utile, come dare agli edifici di Manhattan indirizzi univoci ma assegnarli a caso.

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