I matematici dimostrano la simmetria delle transizioni di fase

La presenza di invarianza conforme ha un significato fisico diretto: indica che il comportamento globale del sistema non cambierà anche se si modificano i dettagli microscopici della sostanza. Allude anche a una certa eleganza matematica che si instaura, per un breve intermezzo, proprio mentre l’intero sistema sta rompendo la sua forma dominante e diventando qualcos’altro.

Le prime prove

Nel 2001 Smirnov ha prodotto il primo rigoroso matematico prova di invarianza conforme in un modello fisico. Si applicava a un modello di percolazione, che è il processo di un liquido che passa attraverso un labirinto in un mezzo poroso, come una pietra.

Smirnov ha osservato la percolazione su un reticolo triangolare, dove l’acqua può fluire solo attraverso i vertici che sono “aperti”. Inizialmente, ogni vertice ha la stessa probabilità di essere aperto al flusso dell’acqua. Quando la probabilità è bassa, le probabilità che l’acqua abbia un percorso attraverso la pietra sono basse.

Ma man mano che aumenti lentamente la probabilità, arriva un punto in cui sono aperti abbastanza vertici per creare il primo percorso che attraversa la pietra. Smirnov ha dimostrato che alla soglia critica, il reticolo triangolare è conforme invariante, il che significa che la percolazione avviene indipendentemente da come lo si trasforma con simmetrie conformi.

Cinque anni dopo, al Congresso Internazionale dei Matematici del 2006, Smirnov annunciato che aveva dimostrato di nuovo l’invarianza conforme, questa volta nel modello di Ising. In combinazione con la sua dimostrazione del 2001, questo lavoro innovativo gli è valso la Medaglia Fields, il più alto riconoscimento della matematica.

Negli anni successivi, altre prove sono arrivate caso per caso, stabilendo l’invarianza conforme per modelli specifici. Nessuno si è avvicinato a dimostrare l’universalità immaginata da Polyakov.

“Le prove precedenti che hanno funzionato sono state adattate a modelli specifici”, ha affermato Federico Camia, fisico matematico della New York University Abu Dhabi. “Hai uno strumento molto specifico per dimostrarlo per un modello molto specifico.”

Lo stesso Smirnov ha riconosciuto che entrambe le sue prove si basavano su una sorta di “magia” che era presente nei due modelli con cui ha lavorato ma che di solito non è disponibile.

“Dal momento che ha usato la magia, funziona solo in situazioni in cui c’è magia, e non siamo stati in grado di trovare la magia in altre situazioni”, ha detto.

Il nuovo lavoro è il primo a interrompere questo schema, dimostrando che l’invarianza rotazionale, una caratteristica fondamentale dell’invarianza conforme, esiste ampiamente.

Uno alla volta

Duminil-Copin ha iniziato a pensare a dimostrare l’invarianza conforme universale alla fine degli anni 2000, quando era studente laureato di Smirnov all’Università di Ginevra. Aveva una comprensione unica della genialità delle tecniche del suo mentore, e anche dei loro limiti. Smirnov ha aggirato la necessità di dimostrare tutte e tre le simmetrie separatamente e ha invece trovato una via diretta per stabilire l’invarianza conforme, come una scorciatoia per un vertice.

“È un risolutore di problemi straordinario. Ha dimostrato l’invarianza conforme di due modelli di fisica statistica trovando l’ingresso in questa enorme montagna, come questo tipo di punto cruciale che ha attraversato”, ha detto Duminil-Copin.

Per anni dopo la scuola di specializzazione, Duminil-Copin ha lavorato alla costruzione di una serie di prove che alla fine gli avrebbero permesso di andare oltre il lavoro di Smirnov. Quando lui e i suoi coautori si misero a lavorare seriamente sull’invarianza conforme, erano pronti ad adottare un approccio diverso da quello di Smirnov. Piuttosto che rischiare con la magia, sono tornati alle ipotesi originali sull’invarianza conforme formulate da Polyakov e dai fisici successivi.

Hugo Duminil-Copin dell’Istituto di studi scientifici avanzati e dell’Università di Ginevra ei suoi collaboratori stanno adottando un approccio una simmetria alla volta per dimostrare l’universalità dell’invarianza conforme.Fotografia: IHES/MC Vergne

I fisici avevano richiesto una dimostrazione in tre passaggi, uno per ogni simmetria presente nell’invarianza conforme: invarianza traslazionale, rotazionale e di scala. Dimostrare ciascuno di essi separatamente e di conseguenza si ottiene l’invarianza conforme.

Con questo in mente, gli autori hanno deciso di dimostrare prima l’invarianza di scala, credendo che l’invarianza rotazionale sarebbe la simmetria più difficile e sapendo che l’invarianza traslazionale era abbastanza semplice e non richiederebbe una propria dimostrazione. Nel tentare ciò, si sono resi conto invece che potevano provare l’esistenza dell’invarianza rotazionale nel punto critico in una grande varietà di modelli di percolazione su griglie quadrate e rettangolari.

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