I matematici dimostrano una versione 2D di Quantum Gravity Works

È un’idea elegante che fornisce risposte concrete solo per campi quantistici selezionati. Nessuna procedura matematica conosciuta può mediare significativamente un numero infinito di oggetti che coprono un’infinita distesa di spazio in generale. L’integrale del percorso è più una filosofia fisica che una ricetta matematica esatta. I matematici mettono in dubbio la sua stessa esistenza come operazione valida e sono infastiditi dal modo in cui i fisici si affidano ad essa.

“Sono disturbato come matematico da qualcosa che non è definito”, ha detto Eveliina Peltola, un matematico dell’Università di Bonn in Germania.

I fisici possono sfruttare l’integrale del percorso di Feynman per calcolare le funzioni di correlazione esatte solo per i campi più noiosi: i campi liberi, che non interagiscono con altri campi e nemmeno con se stessi. Altrimenti, devono falsificarlo, fingendo che i campi siano liberi e aggiungendo interazioni lievi o “perturbazioni”. Questa procedura, nota come teoria delle perturbazioni, fornisce loro funzioni di correlazione per la maggior parte dei campi nel modello standard, perché le forze della natura sono piuttosto deboli.

Ma non ha funzionato per Polyakov. Sebbene inizialmente avesse ipotizzato che il campo di Liouville potesse essere suscettibile all’hack standard di aggiungere lievi perturbazioni, scoprì che interagiva con se stesso in modo troppo forte. Rispetto a un campo libero, il campo di Liouville sembrava matematicamente imperscrutabile e le sue funzioni di correlazione sembravano irraggiungibili.

Su dai Bootstraps

Polyakov iniziò presto a cercare una soluzione. Nel 1984, ha collaborato con Alexander Belavin e Alexander Zamolodchikov per sviluppare una tecnica chiamata the bootstrap—una scala matematica che conduce gradualmente alle funzioni di correlazione di un campo.

Per iniziare a salire la scala, è necessaria una funzione che esprima le correlazioni tra le misurazioni in soli tre punti del campo. Questa “funzione di correlazione a tre punti”, oltre ad alcune informazioni aggiuntive sulle energie che una particella del campo può assumere, costituisce il gradino inferiore della scala bootstrap.

Da lì sali un punto alla volta: usa la funzione a tre punti per costruire la funzione a quattro punti, usa la funzione a quattro punti per costruire la funzione a cinque punti e così via. Ma la procedura genera risultati contrastanti se si inizia con la funzione di correlazione a tre punti sbagliata nel primo ramo.

Polyakov, Belavin e Zamolodchikov hanno usato il bootstrap per risolvere con successo una serie di semplici teorie QFT, ma proprio come con l’integrale del percorso di Feynman, non sono riusciti a farlo funzionare per il campo di Liouville.

Poi negli anni ’90 due coppie di fisici—Harald Dorn e Hans-Jörg Otto, e Zamolodchikov e suo fratello Alexei— è riuscito a trovare la funzione di correlazione a tre punti che ha permesso di scalare la scala, risolvendo completamente il campo di Liouville (e la sua semplice descrizione della gravità quantistica). Il loro risultato, noto con le loro iniziali come formula DOZZ, ha permesso ai fisici di fare qualsiasi previsione riguardante il campo di Liouville. Ma anche gli autori sapevano di esserci arrivati ​​in parte per caso, non attraverso una solida matematica.

“Erano questo tipo di geni che hanno indovinato le formule”, ha detto Vargas.

Le ipotesi plausibili sono utili in fisica, ma non soddisfano i matematici, che in seguito hanno voluto sapere da dove provenisse la formula DOZZ. L’equazione che ha risolto il campo di Liouville dovrebbe derivare da una descrizione del campo stesso, anche se nessuno aveva la più pallida idea di come ottenerlo.

“Mi sembrava fantascienza”, ha detto Kupiainen. “Questo non sarà mai dimostrato da nessuno”.

Domare superfici selvagge

All’inizio degli anni 2010, Vargas e Kupiainen hanno unito le forze con il teorico della probabilità Rémi Rhodes e il fisico François David. Il loro obiettivo era quello di legare le estremità matematiche del campo di Liouville, formalizzare l’integrale del percorso di Feynman che Polyakov aveva abbandonato e, forse, demistificare la formula DOZZ.

All’inizio, si resero conto che un matematico francese di nome Jean-Pierre Kahane aveva scoperto, decenni prima, quella che si sarebbe rivelata la chiave della teoria principale di Polyakov.

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