La geometria storta e complessa dei viaggi di andata e ritorno

Hai mai si chiedeva come sarebbe la vita se la Terra non avesse la forma di una sfera? Diamo per scontato il viaggio regolare attraverso il sistema solare e i tramonti senza interruzioni offerti dalla simmetria rotazionale del pianeta. Una Terra rotonda rende anche facile capire il modo più veloce per andare da un punto UN indicare B: Basta viaggiare lungo il cerchio che attraversa questi due punti e taglia la sfera a metà. Usiamo questi percorsi più brevi, chiamati geodetiche, per pianificare rotte aeree e orbite satellitari.

E se invece vivessimo su un cubo? Il nostro mondo oscillerebbe di più, i nostri orizzonti sarebbero storti e le nostre strade più brevi sarebbero più difficili da trovare. Potresti non passare molto tempo a immaginare la vita su un cubo, ma i matematici lo fanno: studiano come appare il viaggio su tutti i tipi di forme diverse. E a recente scoperta i viaggi di andata e ritorno su un dodecaedro ha cambiato il modo in cui vediamo un oggetto che guardiamo da migliaia di anni.

Trovare il viaggio di andata e ritorno più breve su una determinata forma potrebbe sembrare semplice come scegliere una direzione e camminare in linea retta. Alla fine tornerai dove hai iniziato, giusto? Beh, dipende dalla forma su cui stai camminando. Se è una sfera, sì. (E, sì, stiamo ignorando il fatto che la Terra non è una sfera perfetta e la sua superficie non è esattamente liscia.) Su una sfera, i percorsi dritti seguono “grandi cerchi”, che sono geodetiche come l’equatore. Se cammini intorno all’equatore, dopo circa 25.000 miglia tornerai al punto di partenza e tornerai al punto di partenza.

In un mondo cubico, le geodetiche sono meno evidenti. Trovare un percorso rettilineo su una singola faccia è facile, poiché ogni faccia è piatta. Ma se camminassi in un mondo cubico, come continueresti ad andare “dritto” quando raggiungi un bordo?

C’è un vecchio e divertente problema di matematica che illustra la risposta alla nostra domanda. Immagina una formica su un angolo di un cubo che vuole arrivare all’angolo opposto. Qual è il percorso più breve da cui arrivare sulla superficie del cubo UN per B?

Potresti immaginare molti percorsi diversi per la formica.

Illustrazione: Samuel Velasco / Quanta Magazine

Ma qual è il più corto? C’è una tecnica ingegnosa per risolvere il problema. Appiattiamo il cubo!

Se il cubo fosse di carta, potresti tagliare lungo i bordi e appiattirlo per ottenere una “rete” come questa.

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