I matematici riportano una nuova scoperta sul dodecaedro


I matematici hanno speso più di 2000 anni sezionando la struttura dei cinque solidi platonici – il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, l'icosaedro e il dodecaedro – ma c'è ancora molto che non sappiamo su di loro.

Ora un trio di matematici ha risolto una delle domande più basilari sul dodecaedro.

Storia originale ristampato con il permesso di Quanta Magazine, una pubblicazione indipendente dal punto di vista editoriale del Fondazione Simons la cui missione è migliorare la comprensione della scienza da parte del pubblico coprendo gli sviluppi della ricerca e le tendenze in matematica e scienze fisiche e della vita.

Supponi di trovarti in uno degli angoli di un solido platonico. C'è un percorso rettilineo che potresti prendere che alla fine ti riporterebbe al punto di partenza senza passare per nessuno degli altri angoli? Per i quattro solidi platonici costruiti da quadrati o triangoli equilateri – il cubo, il tetraedro, l'ottaedro e l'icosaedro – i matematici recentemente capito che la risposta è no. Qualsiasi percorso rettilineo che parte da un angolo colpirà un altro angolo o girerà per sempre senza tornare a casa. Ma con il dodecaedro, formato da 12 pentagoni, i matematici non sapevano cosa aspettarsi.

Ora Jayadev Athreya, David Aulicino e Patrick Hooper hanno dimostrato che esiste un numero infinito di tali percorsi sul dodecaedro. Loro carta, pubblicato a maggio in Matematica sperimentale, mostra che questi percorsi possono essere suddivisi in 31 famiglie naturali.

La soluzione richiedeva tecniche moderne e algoritmi informatici. “Vent'anni fa (questa domanda) era assolutamente fuori portata; 10 anni fa sarebbe stato necessario un enorme sforzo per scrivere tutto il software necessario, quindi solo ora tutti i fattori si sono riuniti ", ha scritto Anton Zorich, dell'Istituto di matematica di Jussieu a Parigi, in una e-mail.

Il progetto è iniziato nel 2016 quando Athreya, dell'Università di Washington, e Aulicino, del Brooklyn College, hanno iniziato a giocare con una collezione di ritagli di cartoncino che si piegano nei solidi platonici. Mentre costruivano i diversi solidi, Aulicino pensò che un corpo di recenti ricerche sulla geometria piatta potesse essere proprio ciò di cui avevano bisogno per comprendere i percorsi rettilinei sul dodecaedro. "Stavamo letteralmente mettendo insieme queste cose", ha detto Athreya. "Quindi è stata una specie di esplorazione oziosa che incontra un'opportunità."

Insieme a Hooper, del City College di New York, i ricercatori hanno scoperto come classificare tutti i percorsi rettilinei da un angolo a se stesso che evitano altri angoli.

La loro analisi è "una soluzione elegante", ha detto Howard Masur dell'Università di Chicago. "È una di queste cose in cui posso dire, senza alcuna esitazione, 'Dio, oh, vorrei averlo fatto!'"

Simmetrie nascoste

Sebbene i matematici abbiano speculato su percorsi rettilinei sul dodecaedro per più di un secolo, c'è stata una rinascita di interesse per l'argomento negli ultimi anni a seguito dei progressi nella comprensione delle "superfici di traduzione". Si tratta di superfici formate incollando insieme lati paralleli di un poligono e si sono dimostrate utili per lo studio di un'ampia gamma di argomenti che coinvolgono percorsi rettilinei su forme con angoli, da traiettorie del tavolo da biliardo alla domanda su quando una sola luce può illuminare un'intera stanza a specchio.

In tutti questi problemi, l'idea di base è srotolare la tua forma in modo da rendere più semplici i percorsi che stai studiando. Quindi, per capire i percorsi rettilinei su un solido platonico, potresti iniziare tagliando i bordi abbastanza aperti da rendere piatto il solido, formando ciò che i matematici chiamano una rete. Una rete per il cubo, ad esempio, è una forma a T composta da sei quadrati.

Un dodecaedro di carta costruito nel 2018 da David Aulicino e Jayadev Athreya per dimostrare che sono infatti possibili percorsi rettilinei da un vertice a se stesso evitando altri vertici.Fotografia: Patrick Hooper

Immagina di aver appiattito il dodecaedro e ora stiamo camminando lungo questa forma piatta in una direzione scelta. Alla fine colpiremo il bordo della rete, a quel punto il nostro percorso salterà su un pentagono diverso (quello che è stato incollato al nostro attuale pentagono prima di aprire il dodecaedro). Ogni volta che il percorso salta, ruota anche di un multiplo di 36 gradi.

Per evitare tutto questo saltellamento e rotazione, quando colpiamo un bordo della rete potremmo invece incollare una nuova copia ruotata della rete e proseguire dritto dentro di essa. Abbiamo aggiunto un po 'di ridondanza: ora abbiamo due diversi pentagoni che rappresentano ciascun pentagono sul dodecaedro originale. Quindi abbiamo reso il nostro mondo più complicato, ma il nostro percorso è diventato più semplice. Possiamo continuare ad aggiungere una nuova rete ogni volta che abbiamo bisogno di espanderci oltre i confini del nostro mondo.

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