Una prova matematica fondamentale cancella un ostacolo nella congettura di Erdös


Un paio di i matematici hanno risolto la prima parte di una delle congetture più famose sulle proprietà additive dei numeri interi. Proposta più di 60 anni fa dal leggendario matematico ungherese Paul Erdős, la congettura chiede quando un elenco infinito di numeri interi conterrà sicuramente schemi di almeno tre numeri equidistanti, come 26, 29 e 32.

Storia originale ristampato con il permesso di Quanta Magazine, una pubblicazione indipendente dal punto di vista editoriale del Fondazione Simons la cui missione è migliorare la comprensione della scienza da parte del pubblico coprendo gli sviluppi della ricerca e le tendenze in matematica e scienze fisiche e della vita.

Erdős ha posto migliaia di problemi nel corso della sua carriera, ma la questione di quali elenchi numerici contengano numeri equidistanti (ciò che i matematici chiamano progressioni aritmetiche) è stato uno dei suoi preferiti di tutti i tempi. "Penso che molte persone lo considerassero il problema numero uno di Erdős", ha affermato Timothy Gowers dell'Università di Cambridge. Gowers, che ha vinto il Medaglia Fields nel 1998, ha trascorso molte ore cercando di risolverlo. "Abbastanza bene qualsiasi combinatorialista additivo ragionevolmente ambizioso ci ha provato", ha detto, riferendosi al ramo della matematica a cui appartiene la congettura.

Di norma, un elenco di numeri più denso ha una maggiore probabilità di contenere progressioni aritmetiche rispetto a un elenco più scarso, quindi Erdős ha proposto un semplice test di densità: basta sommare i reciproci dei numeri sulla tua lista. Se i tuoi numeri sono abbastanza numerosi da rendere infinita questa somma, Erdős ha ipotizzato che la tua lista dovrebbe contenere infinite progressioni aritmetiche di ogni lunghezza finita: triple, quadruple e così via.

Ora in un documento pubblicato online il 7 luglio, Thomas Bloom di Cambridge e Olof Sisask dell'Università di Stoccolma hanno dimostrato la congettura quando si tratta di triple equidistanti, come 5, 7 e 9. La coppia ha dimostrato che ogni volta che la somma dei reciproci di una lista di numeri è infinita, deve contenere un numero infinito di triple equidistanti.

Thomas Bloom dell'Università di Cambridge.Per gentile concessione di Thomas Bloom

"Questo risultato è stato una sorta di traguardo per molti anni", ha affermato Nets Katz del California Institute of Technology. "È un grosso problema."

Un insieme i cui reciproci si sommano all'infinito sono i numeri primi, quei numeri divisibili solo per 1 e se stessi. Negli anni '30, Johannes van der Corput usò la struttura speciale dei numeri primi per mostrare che contengono effettivamente un numero infinito di triple equidistanti (come 17, 23 e 29).

Ma la nuova scoperta di Bloom e Sisask significa che non è necessaria una profonda conoscenza della struttura unica dei numeri primi per dimostrare che contengono infiniti numeri tripli. Tutto quello che devi sapere è che i numeri primi sono abbastanza abbondanti perché la somma dei loro reciproci sia infinita – un fatto che i matematici sanno da secoli. "Il risultato di Thomas e Olof ci dice che anche se i numeri primi avessero una struttura completamente diversa da quella che hanno effettivamente, il semplice fatto che ci siano tanti numeri primi quanti sono garantirebbe un'infinità di progressioni aritmetiche", ha scritto Tom Sanders del Università di Oxford in una e-mail.

Il nuovo documento è lungo 77 pagine e ai matematici ci vorrà del tempo per controllarlo attentamente. Ma molti si sentono ottimisti sul fatto che sia corretto. "Sembra davvero come dovrebbe apparire una prova di questo risultato", ha detto Katz, il cui lavoro precedente ha posto gran parte delle basi per questo nuovo risultato.

Il teorema di Bloom e Sisask implica che finché il tuo elenco di numeri è abbastanza denso, devono emergere determinati schemi. La scoperta obbedisce a quello che Sarah Peluse di Oxford chiamava lo slogan fondamentale di quest'area della matematica (originariamente dichiarato da Theodore Motzkin): "Il disordine completo è impossibile".

Densità sotto mentite spoglie

È facile creare un elenco infinito senza progressioni aritmetiche se si rende l'elenco abbastanza scarno. Ad esempio, si consideri la sequenza 1, 10, 100, 1.000, 10.000,… (i cui reciproci si sommano al decimale finito 1.11111…). Questi numeri si diffondono così rapidamente che non puoi mai trovarne tre equidistanti.

Potresti chiederti, tuttavia, se ci sono insiemi di numeri significativamente più densi che evitano comunque le progressioni aritmetiche. Potresti, ad esempio, camminare lungo la linea dei numeri e mantenere ogni numero che non completa una progressione aritmetica. Questo crea la sequenza 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, …, che all'inizio sembra piuttosto densa. Ma diventa incredibilmente scarso man mano che ci si sposta verso numeri più alti: ad esempio, quando si arriva a numeri a 20 cifre, solo lo 0,000009% circa dei numeri interi fino a quel punto è sulla lista. Nel 1946, Felix Behrend inventò esempi più densi, ma anche questi diventano sparsi molto rapidamente: un insieme di Behrend che arriva fino a 20 cifre contiene circa lo 0,001 percento dei numeri interi.

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